Intégration de la mécanique de non-vie

 Réécrire la relativité générale (RG) en remplaçant la constante

$c$ (vitesse de la lumière dans le vide, environ 299 792 458 m/s) par votre constante $RM = -c$ dans le cadre de votre "mécanique de non-vie" est une tâche ambitieuse et complexe, mais tout à fait réalisable en tant qu'exercice théorique. Dans votre modèle, $RM$ représente la constante de vitesse négative associée à la génération d'espace par les masses, où $RM^2 = c^2$, et la matière est une forme d'énergie cinétique ($E = \frac{1}{2} M RM^2$, avec $M = 2m$). L'objectif est d'adapter les équations fondamentales de la RG, qui décrivent la gravité comme la courbure de l'espace-temps causée par la masse-énergie, en intégrant $RM$ tout en restant cohérent avec votre vision (photons à vitesse nulle, non-vie, stockage d'information dans le complémentaire).

Je vais procéder étape par étape, en reformulant les concepts clés de la RG (métrique, équations d'Einstein, géodésiques) avec $RM$, en m'appuyant sur la dérivation précédente des transformations de Lorentz (qui restent inchangées car $RM^2 = c^2$). L'approche sera mécanique, rigoureuse et transparente, en évitant les spéculations philosophiques, avec une vérification de la cohérence dimensionnelle et physique. Notez que cette réécriture est spéculative, car la RG est validée expérimentalement avec $c$, mais nous explorerons les implications de votre cadre.

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1. Rappel de la relativité générale classique

La RG repose sur :

• L'espace-temps : Une variété pseudo-riemannienne à 4 dimensions, décrite par une métrique $g_{\mu\nu}$, où l'intervalle invariant est : $$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \quad (\text{en espace plat, métrique de Minkowski}).$$
• Équation d'Einstein : Relie la courbure de l'espace-temps (tenseur d'Einstein $G_{\mu\nu}$) au contenu masse-énergie (tenseur énergie-impulsion $T_{\mu\nu}$) : $$G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu},$$ où $G$ est la constante gravitationnelle, et $c^4$ normalise les unités (énergie en kg m²/s², courbure en 1/m²).
• Géodésiques : Les trajectoires des particules (massives ou sans masse, comme les photons) suivent les géodésiques, déterminées par la connexion de Levi-Civita dérivée de $g_{\mu\nu}$.
• Rôle de $c$ : Convertit le temps en unités spatiales (m/s), définit la vitesse limite pour les particules sans masse, et apparaît dans la normalisation énergétique.

Dans votre modèle :

• $RM = -c$, donc $RM^2 = c^2$, ce qui préserve les carrés dans les équations.
• Les photons ont une vitesse intrinsèque nulle, transportés par l'espace généré à $|RM| = c$.
• La masse $M$ génère un espace, et l'énergie est $E = \frac{1}{2} M RM^2 = m c^2$ (avec $M = 2m$).

2. Réécriture de la métrique avec RM

La métrique de l'espace-temps est la base de la RG. Dans la métrique de Minkowski (espace plat), l'intervalle est :

$$ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2.$$

Puisque $RM^2 = (-c)^2 = c^2$, remplaçons $c$ par $RM$ :

$$ds^2 = RM^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2.$$

Mathématiquement, cela est identique, car $RM^2 = c^2$. La signature de la métrique (+, -, -, -) reste inchangée, préservant la structure pseudo-riemannienne (cônes de lumière définis par $ds^2 = 0$).

Pour les photons (ou signaux intemporels dans votre modèle), $ds^2 = 0$. En coordonnées (t, x, 0, 0) :

$$RM^2 dt^2 - dx^2 = 0 \implies dx^2 = RM^2 dt^2 \implies \frac{dx}{dt} = \pm |RM| = \pm c,$$

ce qui est cohérent : les photons sont transportés à la vitesse apparente $c$, même si leur vitesse intrinsèque est nulle dans votre cadre.

Dans une métrique générale (par exemple, Schwarzschild pour une masse ponctuelle) :

$$ds^2 = \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 - \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2).$$

Remplaçons $c$ par $RM$ :

$$ds^2 = \left(1 - \frac{2GM}{RM^2 r}\right) RM^2 dt^2 - \left(1 - \frac{2GM}{RM^2 r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2).$$

Puisque $RM^2 = c^2$, la métrique reste identique formellement. Le rayon de Schwarzschild $r_s = 2GM/c^2 = 2GM/RM^2$ est inchangé, et les singularités (horizon, r=0) sont préservées.

Conclusion : La métrique de l'espace-temps, en termes de $RM$, est équivalente à la version classique, car $RM^2 = c^2$. Le signe négatif de $RM$ n'apparaît pas directement ici, mais pourrait refléter un référentiel inversé (non-vie).

3. Équation d'Einstein avec RM

L'équation d'Einstein est :

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu},$$

où $R_{\mu\nu}$ est le tenseur de Ricci, $R$ la courbure scalaire, et $T_{\mu\nu}$ le tenseur énergie-impulsion (en kg/m s²). Le facteur $c^4$ (en m⁴/s⁴) normalise les unités pour que $G_{\mu\nu}$ (en 1/m²) corresponde à $T_{\mu\nu}$.

Remplaçons $c$ par $RM$ :

$$G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{RM^4} T_{\mu\nu}.$$

Puisque $RM^4 = (RM^2)^2 = (c^2)^2 = c^4$, l'équation devient :

$$G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu},$$

ce qui est identique à l'équation classique. Cependant, ajustons pour votre énergie $E = \frac{1}{2} M RM^2$.

Ajustement pour $M = 2m$ : Dans la RG classique, $T_{\mu\nu}$ inclut la densité d'énergie $\rho c^2$. Pour une particule au repos, $T_{00} = \rho c^2$, où $\rho = m / V$ (masse volumique). Dans votre cadre, l'énergie est :

$$E = \frac{1}{2} M RM^2 = m c^2 \implies T_{00} = \rho \cdot \frac{1}{2} M RM^2 / m = \rho c^2 \quad (\text{car } M = 2m, RM^2 = c^2).$$

Le tenseur énergie-impulsion reste compatible, car la densité énergétique est préservée. Ainsi, l'équation d'Einstein reste formellement inchangée, même avec $M$ et $RM$.

Implication : Le signe négatif de $RM$ n'altère pas l'équation, car elle dépend de $RM^4$. Cependant, dans votre mécanique, $T_{\mu\nu}$ pourrait inclure une composante "non-vie" (par exemple, une pression négative dans le complémentaire), mais cela nécessiterait une modification explicite du tenseur.

4. Géodésiques et mouvement des particules

Les géodésiques décrivent les trajectoires des particules dans l'espace-temps courbé. L'équation des géodésiques est :

$$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0,$$

où $\tau$ est le temps propre, et $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ les symboles de Christoffel, dérivés de $g_{\mu\nu}$. Puisque la métrique utilise $RM^2 = c^2$, les $\Gamma$ sont inchangés.

Pour les photons (ds² = 0), la géodésique nulle est :

$$RM^2 dt^2 = dr^2 + r^2 d\Omega^2 \quad (\text{en Schwarzschild}),$$

identique à la version classique, car $RM^2 = c^2$. Dans votre modèle, les photons, à vitesse intrinsèque nulle, suivent ces géodésiques car l'espace généré par les masses les "transporte" à $|RM| = c$.

Pour les particules massives, le temps propre $\tau$ est lié à $E = \gamma m c^2$. Avec votre énergie :

$$E = \gamma \cdot \frac{1}{2} M RM^2 = \gamma m c^2,$$

les géodésiques restent cohérentes, car $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/RM^2} = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$.

5. Intégration de la mécanique de non-vie

Dans votre cadre, la non-vie (complémentaire ensembliste) stocke l'information des interactions (via $\delta S \propto M RM^2$). Cela pourrait modifier la RG en ajoutant un terme au tenseur énergie-impulsion pour représenter l'entropie du complémentaire. Par exemple :

$$T_{\mu\nu}^{\text{non-vie}} \propto \delta S g_{\mu\nu} \propto M RM^2 g_{\mu\nu}.$$

Cela ressemblerait à une constante cosmologique ($\Lambda g_{\mu\nu}$), représentant une pression négative dans le zéro (non-vie). L'équation d'Einstein modifiée pourrait être :

$$G_{\mu\nu} + \Lambda_{\text{non-vie}} g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{RM^4} T_{\mu\nu},$$

où $\Lambda_{\text{non-vie}} \propto M RM^2 / l_P^2$.

6. Vérification et implications

• Cohérence dimensionnelle : $RM^4 = c^4$ (m⁴/s⁴), $G_{\mu\nu}$ en 1/m², $T_{\mu\nu}$ en kg/m s², tout reste cohérent.
• Testabilité : La RG classique prédit des effets comme la précession de Mercure ou les lentilles gravitationnelles. Avec $RM$, les prédictions sont identiques à moins d'ajouter des termes non-vie (e.g., entropie complémentaire).
• Défi : Le signe négatif de $RM$ pourrait affecter les solutions dynamiques (e.g., expansion cosmologique), mais comme $RM^2 = c^2$, les équations statiques sont inchangées. Une exploration des solutions dynamiques (comme Friedmann) serait nécessaire.

Conclusion

La relativité générale réécrite avec $RM = -c$ reste formellement équivalente à la version classique, car $RM^2 = c^2$ dans la métrique et $RM^4 = c^4$ dans les équations d'Einstein. La principale différence réside dans l'interprétation : $RM$ représente la génération d'espace dans un référentiel non-vie, et la matière est une énergie cinétique. Pour intégrer pleinement la non-vie, un terme entropique $\propto M RM^2$ pourrait être ajouté.