Invariance de la constante RM

 Dérivons les transformations de Lorentz en incorporant votre constante RM négative (par exemple, RM = -c, où c est la valeur positive de la vitesse de la lumière dans le vide standard, environ 299 792 458 m/s). Dans votre mécanique de non-vie, RM représente la "vitesse" de génération d'espace par la masse, avec un signe négatif reflétant la dualité non-vie (un référentiel inversé ou retardé). Je vais procéder étape par étape, en m'appuyant sur les postulats de la relativité restreinte adaptés à votre cadre, pour montrer comment arriver à la solution. Le raisonnement est structuré et transparent, en supposant un espace-temps 1+1 dimensions pour la simplicité (axe x et temps t).

Postulats adaptés à votre modèle

1. Invariance des lois physiques : Les lois sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels.
2. Constante de génération d'espace RM : La "vitesse effective" des signaux intemporels (comme les photons, à vitesse intrinsèque nulle mais transportés par l'espace généré) est invariante et égale à RM dans tous les référentiels. Puisque RM = -c < 0, cela implique une direction "négative" ou complémentaire (non-vie), mais la magnitude |RM| = c reste la limite. Notez que les vitesses physiques sont positives (magnitude), mais le signe de RM introduit une asymétrie conceptuelle.
3. Linéarité : Les transformations sont linéaires pour préserver l'homogénéité de l'espace-temps.

L'intervalle invariant d'espace-temps est adapté comme suit : $ds^2 = RM^2 dt^2 - dx^2$ Puisque RM = -c, RM² = (-c)² = c² > 0, l'intervalle est identique à celui de la relativité standard : ds² = c² dt² - dx². Cela préserve la causalité (cônes de lumière).

Étape 1 : Forme générale des transformations

Considérons deux référentiels inertiels S et S' :

• S' se déplace à vitesse +v (positive) par rapport à S le long de l'axe x.
• Les transformations sont linéaires : $x' = a x + b t$ $t' = d x + e t$ où a, b, d, e sont des coefficients à déterminer, dépendant de v et RM.

Condition initiale : L'origine de S' (x' = 0) coïncide avec x = v t dans S (S' avance à +v). Donc, quand x' = 0 : $0 = a (v t) + b t \implies b = -a v.$ Les transformations deviennent : $x' = a (x - v t)$ $t' = d x + e t.$

Nous introduisons conventionnellement γ = a (facteur de Lorentz, à déterminer), donc : $x' = \gamma (x - v t)$ $t' = d x + e t.$

Étape 2 : Symétrie et transformation inverse

La transformation inverse (de S' à S) doit être symétrique, en remplaçant v par -v : $x = \gamma (x' + v t')$ $t = d' x' + e' t'.$ Par symétrie, d' = -d (à vérifier), et e = e' = γ (puisque le temps propre est invariant pour v=0).

Pour trouver d et e, appliquons l'inverse à l'origine : quand x=0, t=0, x'= -γ v t', etc. Mais passons au postulat clé.

Étape 3 : Invariance de la constante RM (postulat de "vitesse" invariante)

Supposons un signal "lumineux" (photon transporté par l'espace généré) émis à l'origine commune à t = t' = 0.

• Dans S, le signal se propage à vitesse effective |RM| = c (magnitude), mais avec le signe de RM pour la direction "non-vie".
• Considérons deux directions pour la complétude : forward (x = |RM| t = c t) et backward (x = -|RM| t = -c t). Mais puisque RM = -c, définissons le postulat comme : le signal suit x = RM t pour la direction complémentaire (négative).

Pour invariance : un signal avec x = RM t dans S doit avoir x' = RM t' dans S'.

Substituons : x = RM t $x' = \gamma (RM t - v t) = \gamma t (RM - v)$ $t' = d (RM t) + e t = t (d RM + e)$

Pour invariance, x' = RM t' : $\gamma t (RM - v) = RM \cdot t (d RM + e)$ Divisez par t (t ≠ 0) : $\gamma (RM - v) = RM (d RM + e)$ $\gamma RM - \gamma v = d RM^2 + e RM \quad (1)$

Étape 4 : Utilisation de la transformation inverse ou d'un second signal

Appliquons la même pour le signal inverse. Dans votre cadre, puisque RM est négatif, considérons le signal "complémentaire" x = -RM t (direction positive, car -(-c) = c).

Pour x = -RM t dans S, x' = -RM t' dans S'. Substituons : $x' = \gamma (-RM t - v t) = \gamma t (-RM - v)$ $t' = d (-RM t) + e t = t (-d RM + e)$

Invariance : \gamma t (-RM - v) = -RM \cdot t (-d RM + e) $\gamma (-RM - v) = -RM (-d RM + e)$ $-\gamma RM - \gamma v = RM (d RM - e)$ $-\gamma RM - \gamma v = d RM^2 - e RM \quad (2)$

Étape 5 : Résolution du système

Nous avons les équations (1) et (2) : (1) : γ RM - γ v = d RM² + e RM (2) : -γ RM - γ v = d RM² - e RM

Additionnons (1) + (2) : (γ RM - γ v) + (-γ RM - γ v) = 2 d RM² -2 γ v = 2 d RM² d = -γ v / RM²

Soustrayons (1) - (2) : (γ RM - γ v) - (-γ RM - γ v) = (d RM² + e RM) - (d RM² - e RM) γ RM - γ v + γ RM + γ v = 2 e RM 2 γ RM = 2 e RM e = γ

Donc, t' = γ (t - (v / RM²) x) (puisque d = -γ v / RM²)

Étape 6 : Détermination de γ

Pour trouver γ, utilisons une condition supplémentaire : par exemple, la longueur propre ou l'invariance pour v=0 (γ=1). Considérons un barreau au repos en S' (longueur L' = x'_2 - x'_1 à t' fixe).

Une derivation standard utilise l'invariance pour un événement à x=0 : t' = γ t quand v=0, mais pour γ, considérons la composition des vitesses ou l'intervalle.

De l'intervalle invariant ds² = RM² dt² - dx² = RM² dt'² - dx'².

Pour un objet au repos en S (dx=0), ds² = RM² dt². En S', il bouge, etc. Mais pour dériver γ, supposons un événement où un signal retourne.

Standardement, γ = 1 / √(1 - v² / RM²), car de la contraction des longueurs ou dilatation.

Pour le confirmer : supposons v < |RM|, et pour éviter divergence.

Puisque RM² = c², γ = 1 / √(1 - v² / c²), identique.

Le signe négatif de RM n'affecte pas, car tout dépend de RM².

Résultat final

Les transformations de Lorentz avec RM négatif sont : $x' = \gamma (x - v t)$ $t' = \gamma \left( t - \frac{v x}{RM^2} \right)$ $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{RM^2}}}$

Puisque RM = -c, RM² = c², elles sont identiques aux transformations classiques avec c. Le signe négatif de RM n'altère pas les formes mathématiques (car squared), mais conceptuellement, il reflète la non-vie (direction complémentaire ou retard). Si vous insistez sur une vitesse négative stricte, cela pourrait impliquer une métrique flipped (ds² = -c² dt² + dx²), menant à des transformations hyperboliques différentes, mais cela briserait la causalité standard.

Pour une vérification, considérez v → |RM|, γ → ∞, même comportement.