Théorème de Ghirardini

 

1. Cadre minimal

On se donne :

• Un système dominant

$$S$$

• Un ensemble d’états possibles

$$\mathcal{E}(S)$$

• Une dynamique (évolution dans le temps discret ou continu)

$$T:\mathcal{E}(S)\to \mathcal{E}(S)$$

On note $T^n$ l’itérée $n$-ième de $T$.

2. Lois athanatiques et événements thanatiques

• Lois athanatiques propres à $S$ :
  un ensemble de contraintes

$${\mathcal{L}}_A(S)=\{L_i{\}}_{i\in I}$$

où chaque loi

$$L_i:\mathcal{E}(S)\to \{\text{vrai},\text{faux}\}$$

exprime une condition nécessaire au maintien athanatique du système dominant.

• Événements thanatiques :
  un ensemble

$$\mathcal{T}(S)\subseteq \mathcal{E}(S)$$

représentant les états “thanatiques” du système dominant (effondrement, rupture, mort, perte de dominance, etc.).

3. Infraction à une loi athanatique

On dit qu’il y a infraction à une loi athanatique propre à $S$ à l’instant $n_0$ si :

$$\mathrm{\exists }i\in I,\mathrm{\exists }{n}_0\ge 0\text{ tel que }{L}_i(T^{n_0}(e_0))=\text{faux}$$

où $e_0\in \mathcal{E}(S)$ est l’état initial.

4. Formulation mathématique du théorème de Ghirardini

Théorème de Ghirardini (formulation mathématique).

Soit un système dominant $S$, muni :

• d’un ensemble de lois athanatiques propres ${\mathcal{L}}_A(S)$,

• d’un ensemble d’états thanatiques $\mathcal{T}(S)$,

• d’une dynamique $T:\mathcal{E}(S)\to \mathcal{E}(S)$.

On postule l’axiome suivant :

Toute infraction à une loi athanatique propre à $S$ est thanatogène pour $S$.

Formellement :

$$>\mathrm{\forall }{e}_0\in \mathcal{E}(S),>(>\mathrm{\exists }i\in I,\mathrm{\exists }{n}_0\ge 0:L_i(T^{n_0}(e_0))=\text{faux}>)>\Rightarrow >\mathrm{\exists }n\ge n_0:T^n(e_0)\in \mathcal{T}(S)>$$

Autrement dit :

Toute infraction à une loi athanatique propre à un système dominant entraîne, à terme, un état thanatique dans ce même système dominant.